¿Qué Es La Topología?

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La topología es una rama de las matemáticas que describe los espacios matemáticos, en particular las propiedades que se derivan de la forma de un espacio.

La topología es una rama de las matemáticas que describe los espacios matemáticos, en particular las propiedades que se derivan de la forma de un espacio. Muchas de las formas con las que se topan los topólogos son increíblemente extrañas, tanto que casi todos los objetos cotidianos, como los tazones, las mascotas y los árboles, constituyen una pequeña minoría. La palabra "topología" deriva de las palabras griegas para lugar (topos) y estudiar (-pesado).

La topología es importante como guía en varias áreas de estudio:

  • Física teórica (en particular los sucesores de la mecánica cuántica, como la teoría cuántica de campos y la teoría de cuerdas)
  • Cosmología (para determinar la forma del universo).
  • Biología (para enredar el ADN y predecir el crecimiento de órganos y otras partes del cuerpo)
  • Informática (para determinar la estructura a gran escala de conjuntos de datos)
  • Robótica (donde los movimientos de un brazo robot se planifican en función de la forma de un espacio con un número de dimensiones igual al número de articulaciones del brazo)

Deformación continua

Un topólogo estudia las propiedades de las formas, en particular las que se conservan después de torcer, estirar o deformar una forma. Esta lista de cambios permitidos se ajusta a una idea matemática conocida como deformación continua, que en términos generales significa "estirar, pero no desgarrar o fusionar". Por ejemplo, un círculo se puede estirar y estirar en una elipse o algo complejo como el contorno de una huella de la mano. La rotura y la fusión causan lo que se conoce como discontinuidades, por lo que no están permitidos.

Dos objetos que pueden estirarse en la misma forma se describen como homeomorfo, del griego latinizado para "similar a" (homeo-) y el griego "forma, forma o figura" (Morphe). A través de esta lente, prácticamente todos los objetos cotidianos son homeomorfos con una esfera (una bola) o alguna variedad de toro (una dona).

Prácticamente todos los objetos cotidianos, cuando se someten a una deformación continua, se reducen a unas pocas formas topológicas.

Prácticamente todos los objetos cotidianos, cuando se someten a una deformación continua, se reducen a unas pocas formas topológicas.

Crédito: Robert J. Coolman

Algunas ramas de la topología permiten que un objeto pase a través de sí mismo mientras se estira; Otros no lo hacen. Al considerar una superficie que puede Pasar a través de sí mismo, es importante no pellizcar una superficie infinitamente apretada, ya que esto también agrega discontinuidades. Esto ocurre generalmente cuando una superficie se dobla sobre sí misma, como cuando se intenta voltear una esfera de adentro hacia afuera (lo cual es difícil, pero posible).

Característica de Euler

Un ejemplo de una propiedad que no cambia bajo una deformación continua es la de un objeto. Caracteristica de euler, el nombre de Leonhard Euler, un 18thSiglo matemático alemán.

Para demostrar la característica de Euler de un objeto, primero tomamos una esfera (o un objeto homeomórfico con una esfera, como una cabeza humana) y cubrimos la superficie con polígonos. Luego, contamos el número de caras (lados), bordes (lugares donde se unen dos lados) y vértices (lugares donde se encuentran tres o más lados). Ahora, agregue el número de caras (F) y los vértices (V) y reste el número de bordes (E): F + V - E. No importa cómo se divide la superficie; La respuesta siempre saldrá igual: dos. Dado que los cinco sólidos platónicos (las formas tridimensionales hechas de un tipo de polígono regular) son todos homomorfos a una esfera, también tienen una característica de Euler de dos.

Todos los sólidos platónicos tienen una característica de Euler de dos.

Todos los sólidos platónicos tienen una característica de Euler de dos.

Crédito: Robert J. Coolman

Podemos entender por qué se conserva la característica de Euler si pensamos en lo que significa agregar un borde o vértice. Al agregar un borde entre dos vértices, se divide una cara en dos: los bordes aumentan uno, las caras aumentan uno y los vértices permanecen iguales. Del mismo modo, al agregar un vértice a lo largo de un borde, se divide el borde en dos: los bordes aumentan uno, los vértices aumentan uno y las caras permanecen iguales.

Ahora cubra la superficie de un toro, cuente F, V y E, y obtendrá una característica de Euler de cero. Aquí hay un ejemplo:

Un ejemplo de un poliedro toro. Como con todos los toros, la característica de Euler (F + V - E) es cero. En este caso F = 16, V = 16, y E = 32.

Un ejemplo de un poliedro toro. Como con todos los toros, la característica de Euler (F + V - E) es cero. En este caso F = 16, V = 16, y E = 32.

Crédito: Robert J. Coolman

Con un doble toro, la característica de Euler es negativa dos; Para un toro triple, cuatro negativos. Cada agujero adicional reduce la característica de Euler en dos.

Superficies no orientables.

Una cosa que todas las formas de las que hemos hablado hasta ahora tienen en común es que se dice que son orientable. Esto significa que un insecto que camina en la superficie exterior siempre permanecerá en el exterior; Lo mismo ocurre con el interior. Tambien hay no orientable superficies, lo que significa que un error vagando en la superficie puede terminar en ambos lados. El ejemplo más famoso de esto es el cinta de Moebius (que tiene una característica de Euler de cero, EC = 0).

Una tira de Mobius es el ejemplo más simple de una superficie no orientable.

Una tira de Mobius es el ejemplo más simple de una superficie no orientable.

Crédito: Esben Oxholm Shutterstock

Mientras que un lenguaje como "ambos lados de una tira de Mobius" es útil para introducir el concepto, va en contra de la mente de un topólogo, quien dice que cualquier superficie es 2-D, y también lo son los seres que la habitan. A través de esta lente, es más útil pensar en un error 2D que vive dentro de la superficie. Para una superficie orientable, hay errores a la derecha y errores a la izquierda, pero para una superficie no orientable, los errores a la derecha y la izquierda son indistinguibles. Esto enfatiza que la tira Mobius representa un espacio y que estamos interesados ​​en las propiedades que se derivan de la forma del espacio.

Polígonos fundamentales

Con esta perspectiva de las superficies en 2-D, es conveniente representar los espacios topológicos en términos de su polígonos fundamentales. Para convertir la superficie 2-D de un polígono fundamental en un objeto 3D, estire la superficie para que los lados correspondientes se unan en la dirección indicada por las flechas. Como puede verse, la unión de los lados paralelos forma un cilindro (EC = 0), y la unión de líneas antiparalelas crea una tira de Mobius (EC = 0).

Los polígonos fundamentales del cilindro y la tira de Mobius.Los bordes etiquetados con letras se unen en la dirección indicada por las flechas. Los bordes discontinuos permanecen desconectados.

Los polígonos fundamentales del cilindro y la tira de Mobius. Los bordes etiquetados con letras se unen en la dirección indicada por las flechas. Los bordes discontinuos permanecen desconectados.

Crédito: Robert J. Coolman

Un error 2-D que se aleja y el límite con flecha de un polígono fundamental se transporta al otro límite y se orienta de la misma manera en comparación con la dirección de la flecha. Si el error permanece igual o si se voltea, indica si la superficie es orientable o no orientable, respectivamente. Un error 2-D no tiene permitido cruzar un límite de puntos.

Un error 2-D vagando en la superficie 2-D de una tira de Mobius. Observe cómo se invierte el error después de recorrer el mapa. Dado que no hay distinción entre bichos diestros y zurdos, la superficie no es orientable. El error no está permitido caminar sobre los bordes punteados.

Un error 2-D vagando en la superficie 2-D de una tira de Mobius. Observe cómo se invierte el error después de recorrer el mapa. Dado que no hay distinción entre bichos diestros y zurdos, la superficie no es orientable. El error no está permitido caminar sobre los bordes punteados.

Crédito: Robert J. Coolman

Las primeras formas de las que hablamos también tienen polígonos fundamentales. Para hacer un toro, primero haga un cilindro, luego estire los extremos del cilindro hasta que se junten. Para hacer una esfera, dobla la hoja de esquina a esquina para hacer un sobre triangular, luego infla hasta que sea esférica.

Los polígonos fundamentales del Toro y la Esfera.

Los polígonos fundamentales del Toro y la Esfera.

Crédito: Robert J. Coolman

Los bordes punteados de una tira Mobius se pueden combinar de dos maneras diferentes para dar lugar a dos superficies más no orientables: una botella Klein (EC = 0) puede considerarse como una cruz entre una tira Mobius y un cilindro, y una el disco de casquillo cruzado (EC = 1) se puede considerar como el cruce entre dos tiras de Mobius. Al igual que con la tira Mobius, si hay una tercera dimensión para envolver este mapa, podemos obtener una perspectiva de la "forma" general del espacio. Ambas construcciones requieren que se permita que la superficie pase a través de sí misma. Un error 2-D no notaría tal intersección; solo que el mundo se "voltea" después de tomar ciertos caminos en el espacio 2-D.

Los polígonos fundamentales de la botella de Klein y el disco de tapa cruzada. El disco de tapa cruzada se ha abierto a lo largo de un borde para exponer el interior.

Los polígonos fundamentales de la botella de Klein y el disco de tapa cruzada. El disco de tapa cruzada se ha abierto a lo largo de un borde para exponer el interior.

Crédito: Robert J. Coolman

Problemas famosos en la topología.

La topología ha existido por solo unos pocos siglos, pero ya tiene una rica historia de problemas y subcampos, y cada uno tiene su propia historia.

  • Siete puentes de Königsberg: A menudo considerado el primer problema en topología. La antigua ciudad prusiana de Königsberg tenía una vez siete puentes, y su gente se preguntaba si era posible caminar por un sendero que solo cruzaba una vez cada puente. En 1735, Euler demostró que tal camino era imposible.
  • Patrones en palma y huellas dactilares: Todas las huellas digitales tienen características comunes, como bucles y triradii (tres líneas que se juntan). En 1965, Lionel Penrose, un genetista médico británico, señaló que las huellas dactilares y las huellas de las palmas obedecen a una regla universal: todos los nacidos con cinco dedos siempre tienen cuatro triradii más que bucles.
  • Teorema de la bola peluda: Para una pelota (o esfera, más bien) cubierta de cabello, es imposible peinar todo el cabello plano. Debe haber al menos un lugar donde el cabello sobresalga hacia arriba.
  • Esfera Eversion: Para una superficie esférica que puede pasar a través de sí misma, ¿es posible girar una esfera completamente de adentro hacia afuera sin pellizcar cualquier región infinitamente apretada? Es complicado, pero sí.
  • Teoría del nudo: La teoría de nudos es una disciplina dentro de la topología que solo trata con toros (plural de toros) que no pueden pasar por sí mismos o por otros. Un enfoque importante de la teoría de nudos es determinar si dos nudos de aspecto diferente son homeomorfos.
  • Conjetura de Poincaré: En este artículo, solo hemos examinado los espacios 2D, pero también hay espacios 3D que se conectan de formas extrañas. La Conjetura de Poincaré, que se planteó por primera vez en 1904, trata sobre estos espacios tridimensionales, afirmando que "cada colector de 3 simplemente cerrado y cerrado es homeomorfo de la esfera de 3". Casi un siglo después, en el 2000, el Clay Mathematics Institute seleccionó siete problemas no resueltos del "Premio del Milenio" por los cuales se otorgaría $ 1 millón a cualquier persona que encuentre una solución. La Conjetura de Poincaré fue el primer problema de este tipo que se resolvió. El matemático ruso Grigori Perelman, quien encontró la solución en 2002, rechazó tanto el premio en efectivo Millennium como la Medalla Fields (considerada por muchos como el equivalente a un Premio Nobel de Matemáticas).

Recursos adicionales

  • Zogg de Betelgeuse: No Edge: la forma del universo
  • Institución real: Matemáticas en cuatro dimensiones

Suplemento De Vídeo: ¿Qué es la topología? - UCAM Knowledge Pills.




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