¿Qué Es La Teoría De Los Números?

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¿qué es la teoría de los números? Aprende cómo los matemáticos usan la teoría de los números para definir las relaciones que subyacen en la naturaleza misma.

Cualquiera que se haya enamorado alguna vez le dirá que lo que importa son las pequeñas cosas de la otra persona. Los chistes tontos compartidos al final del día. Las peculiaridades del ritual matutino del café de la otra persona. La forma en que él o ella permite que los viejos libros de bolsillo se apilen en la mesita de noche. Tales detalles interrelacionados vienen a definirnos. Rastrean las corrientes subterráneas de nuestra personalidad y, para el ojo observador y amante, iluminan la verdadera belleza.

A los ojos de algunos, no hay una belleza más fina que la que se encuentra en las matemáticas. Miran el mundo de los números y, como nunca definirías a tu persona amada únicamente por su profesión o color de cabello, el amante de las matemáticas ve más allá de la mera función de los números. Los gustos de 6, 28 y 496 se convierten en algo más sublime que los simples portadores de información. Independientemente de su uso, los números se convierten en entidades fascinantes y sus relaciones matemáticas expresan la complejidad de un vasto sistema que sustenta la naturaleza misma.

El estudio de esas relaciones a veces sutiles y de gran alcance es teoría de los números, a veces referido como aritmética superior. Los teóricos del número examinan las propiedades de enteros, los números naturales que conoces como -1, -2, 0, 1, 2 y así sucesivamente. Es parte teórica y parte experimental, ya que los matemáticos buscan descubrir interacciones matemáticas fascinantes e incluso inesperadas.

¿Qué tipo de relaciones? Bueno, en realidad categorizamos los enteros en diferentes tipos de números según sus relaciones. Hay, por supuesto, números impares (1,3, 5...), que no se pueden dividir en partes iguales, y Números pares (2, 4, 6…), que puede. Existen números cuadrados, producido multiplicando otro número por sí mismo. Por ejemplo, 2 x 2 = 4 y 3 x 3 = 9, entonces 4 y 9 son números cuadrados. Así es 1 (1 x 1 = 1) y también lo es 9.801 (99 x 99 = 9.801). También expresamos estos cuatro ejemplos como 22, 32, 12 y 992.

Ahora agreguemos otro nivel de intriga a este ejemplo. En algunos casos, podemos sumar números cuadrados para producir otros números cuadrados en lo que se llama un Pitagórico triple, como encajan los Teorema de pitágoras (una2 + b2 = c2). Un ejemplo de esto es 3.2 + 42 = 52, o 3, 4, 5.

La teoría de los números implica analizar tales relaciones matemáticas, así como hacer nuevas preguntas sobre ellas. Pero, ¿qué es una teoría de los números? ¿Qué implica formular una prueba y por qué algunas preguntas matemáticas permanecen sin respuesta durante siglos?

Preguntas en teoría de números

Por lo tanto, el mundo de las matemáticas ofrece numerosos tipos de números, cada uno con sus propiedades particulares. Los matemáticos formulan teorías sobre las relaciones entre números y grupos de números. Sostienen sus teorías con axiomas (declaraciones previamente establecidas que se presumen verdaderas) y teoremas (declaraciones basadas en otros teoremas o axiomas).

El primer paso para construir una nueva y brillante teoría matemática, sin embargo, es hacer una pregunta teórica sobre las relaciones numéricas. Por ejemplo, ¿puede la suma de dos cubos ser un cubo? ¿Recuerdas los triples pitagóricos de la página anterior? Estos tríos de tres números, como (3, 4, 5), resuelven la ecuación a2 + b2 = c2. Pero ¿qué pasa con un3 + b3 = c3? El matemático Pierre de Fermat hizo la misma pregunta sobre los cubos y, en 1637, afirmó haber desarrollado una prueba que, línea tras línea de minuciosa lógica, demostró sin lugar a dudas que no, la suma de dos cubos no puede ser un cubo. Llamamos a esto El último teorema de Fermat. Desafortunadamente, en lugar de proporcionar la prueba completa en sus notas, Fermat simplemente escribió: "Tengo una demostración verdaderamente maravillosa de esta proposición que este margen es demasiado estrecho para contener" [fuente: NOVA].

Siguieron más de tres siglos y medio durante los cuales matemáticos de todo el mundo intentaron en vano redescubrir la prueba de Fermat. ¿Qué estaba montando en esta búsqueda? Nada, salvo el orgullo académico y el amor de la matemática abstracta y pura. Luego, en 1993, con la ayuda de las matemáticas computacionales sin descubrir en la época de Fermat, el matemático inglés Andrew Wiles logró probar el teorema de 356 años. Los expertos continúan discutiendo si Fermat realmente elaboró ​​una prueba tan fenomenal en su era anterior a la informática, o si se equivocó.

Otras preguntas en la teoría de números relacionadas con varios patrones teóricos o percibidos en números o grupos de números. Todo comienza con el aspecto más crucial del pensamiento inteligente: el reconocimiento de patrones. El profesor de matemáticas de la Universidad Brown, Joseph H. Silverman, presenta cinco pasos básicos en la teoría de los números:

  • Acumular datos matemáticos o abstractos.
  • Examina los datos y busca patrones o relaciones.
  • Formular un conjetura (normalmente en forma de una ecuación) para explicar estos patrones o relaciones.
  • Prueba la conjetura con datos adicionales.
  • Crea una prueba que demuestre que la conjetura es correcta. La prueba debe comenzar con hechos conocidos y terminar con el resultado deseado.

El último teorema de Fermat, por lo tanto, fue realmente una conjetura durante 356 años y solo se convirtió en un verdadero teorema en 1993. Otros, como la Prueba de los regímenes infinitos de Euclides (que demuestra que los números primos son ilimitados), se ha mantenido como un modelo sólido de razonamiento matemático desde entonces. 300 aC Todavía otras conjeturas de la teoría de números, tanto antiguas como nuevas, siguen sin ser probadas.

Los números son tan infinitos como la comprensión humana es finita, por lo que la teoría de los números y sus diversos subcampos continuarán cautivando las mentes de los amantes de las matemáticas durante años. Los viejos problemas pueden caer, pero surgirán nuevas y más complicadas conjeturas.

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Aplicaciones emergentes

En su mayor parte, la teoría de los números sigue siendo un área puramente abstracta del estudio matemático, pero existen aplicaciones en el campo de la criptografía, donde la teoría de los números puede crear códigos simples pero altamente seguros. Otros campos de aplicación incluyen procesamiento digital de información, computación, acústica y cristalografía.

Fuentes

  • LeVeque, William J. "Teoría elemental de los números". Publicaciones de Dover, Inc. 1990.
  • Silverman, Joseph H. "Una introducción amistosa a la teoría de números". 1997. Prentice Hall.
  • "Resolviendo Fermat: Andrew Wiles". NOVA en línea. Noviembre de 2000. (9 de junio de 2011) //pbs.org/wgbh/nova/proof/wiles.html

Suplemento De Vídeo: ¿Sabías qué aplicaciones tiene la teoría de los números en nuestra vida cotidiana?.




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