¿Qué Son Las Ecuaciones Cuadráticas?

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Las ecuaciones cuadráticas son básicas para el álgebra y son las matemáticas detrás de parábolas, proyectiles, antenas parabólicas y la proporción áurea.

En matemáticas, una cuadrática es un tipo de problema que trata con una variable multiplicada por sí misma, una operación conocida como cuadratura. Este lenguaje deriva del área de un cuadrado que es su longitud de lado multiplicada por sí misma. La palabra "cuadrática" viene de cuadratum, la palabra latina para plaza.

Las ecuaciones cuadráticas caracterizan una gran cantidad de fenómenos en el mundo real, como dónde aterrizará un cohete, cuánto cobrar por un producto o cuánto tiempo le tomará a una persona remar y bajar un río. Debido a su amplia variedad de aplicaciones, los cuadráticos tienen una profunda importancia histórica y fueron fundamentales para la historia del álgebra.

Corrientes de agua de una fuente forman parábolas.

Corrientes de agua de una fuente forman parábolas.

Crédito: Matej Kastelic Shutterstock

La parabola

La matemática de las cuadráticas está intrínsecamente relacionada con una curva en forma de U conocida como parábola. Quizás el ejemplo más familiar es un chorro de agua que brota de un bebedero. Hay muchos otros ejemplos, como la sección transversal de una antena parabólica o los cables en un puente colgante.

La parábola fue una forma significativa para muchos matemáticos de la antigua Grecia, como Euclides de Alejandría (~ 300 aC), Arquímedes de Siracusa (287-212 aC), Apolonio de Perga (262-190 aC) y Pappus de Alejandría (AD 290) -350). Estos estudiosos observaron una serie de propiedades matemáticas intrínsecas a las parábolas:

1. Una parábola es el conjunto de puntos igualmente distantes de un punto (a atención) y una línea (a directora). El enfoque apropiadamente nombrado es importante en una serie de aplicaciones de ingeniería moderna, ya que es el punto en un plato parabólico donde se reflejan las ondas entrantes, ya sean ondas de radio (como en una antena parabólica), luz (como en un panel solar de concentración) o sonido (como en un micrófono parabólico).

Cada punto en una parábola es equidistante de un determinado punto y una línea. Las ondas entrantes se reflejan en el foco.

Cada punto en una parábola es equidistante de un determinado punto y una línea. Las ondas entrantes se reflejan en el foco.

Crédito: Robert Coolman

2. También se genera una parábola cortando un cono paralelo a la pendiente de los lados del cono. Debido a esto, las parábolas están en un conjunto de curvas matemáticas llamadas secciones cónicas. Casi 2,000 años después de este descubrimiento, en su investigación sobre "espejos ardientes" parabólicos, Leonardo da Vinci (A.D. 1452-1519) entendió esta propiedad y desarrolló una brújula que podía dibujar parábolas.

Un plano que interseca un cono hace una parábola.

Un plano que interseca un cono hace una parábola.

Crédito: Robert Coolman

3. Los cambios en la altura de una parábola son proporcionales a los cambios en el cuadrado del ancho de esa parábola. Por ejemplo, si una parábola tiene una unidad de altura donde tiene una unidad de ancho, tendrá nueve unidades (tres cuadrados) de altura cuando tiene tres unidades de ancho. Es de esta propiedad que Apolonio derivó la palabra "parábola" de parábola la palabra griega para "aplicación", en el sentido de que el ancho se "aplica a" (multiplicado por) por sí mismo. Esta es la propiedad que vincula la forma de una parábola al concepto matemático de la cuadrática.

Aunque las parábolas son ubicuas, es importante tener en cuenta que son diferentes de otras curvas en forma de U, como una cadena colgante (una catenaria), la trayectoria de un niño en un columpio (un arco circular), el arco desde una Linterna vertical que brilla sobre una pared (una hipérbola) o la cresta de la vista lateral de un resorte (una sinusoide). Estas otras curvas no tienen las propiedades antes mencionadas de las parábolas.

Para una parábola de una unidad de altura donde tiene una unidad de ancho, tendrá nueve unidades (tres cuadrados) de altura donde tiene tres unidades de ancho. Esta parábola se ha girado hacia la derecha para que quepa en la página.

Para una parábola de una unidad de altura donde tiene una unidad de ancho, tendrá nueve unidades (tres cuadrados) de altura donde tiene tres unidades de ancho. Esta parábola se ha girado hacia la derecha para que quepa en la página.

Crédito: Robert Coolman

Movimiento de proyectiles

El vínculo entre las parábolas y las matemáticas de los cuadráticos fue de gran importancia en el siglo XVI a. De C., cuando los estudiosos del Renacimiento europeo notaron que proyectiles como balas de cañón y morteros viajaban en trayectorias parabólicas. Muchos científicos notables de esa era, incluidos Leonardo da Vinci y Galileo Galilei (1564-1642), estudiaron el movimiento de proyectiles. Según Joseph W. Dauben, profesor de historia en la City University de Nueva York (CUNY), porque los artistas del Renacimiento se obsesionaron con retratar la realidad con precisión. En arte, Galileo se obsesionó igualmente con retratar con precisión la realidad utilizando matemáticas. En 1638, Galileo publicó la primera prueba de que una aceleración uniforme de la gravedad de la Tierra haría que los proyectiles se movieran en trayectorias parabólicas. El uso de las matemáticas para describir el movimiento fue clave para el progreso de la Revolución científica.

Gráficas de cuadráticas

Casi al mismo tiempo que Galileo, el filósofo y matemático francés René Descartes (1596-1650) publicó "La Géométrie" (1637), que describía la técnica de graficar ecuaciones algebraicas en un campo llamado geometría analítica. Una variación de sus métodos todavía se usa hoy. Como se muestra a continuación, la gráfica de una ecuación cuadrática es una parábola.

La gráfica de una ecuación cuadrática forma una parábola. La técnica de graficación tal como se practica hoy se basa en el trabajo de René Descartes.

La gráfica de una ecuación cuadrática forma una parábola. La técnica de graficación tal como se practica hoy se basa en el trabajo de René Descartes.

Crédito: Robert Coolman

Un antiguo cuadrático: La proporción de oro.

Para entender el método de resolución cuadrática que los matemáticos, científicos e ingenieros usan hoy, exploremos un problema matemático antiguo: la proporción áurea.Como nota aparte, en "Conceptos erróneos sobre la proporción de oro" (1992), George Markowsky, profesor de matemáticas en la Universidad de Maine, señaló que la importancia histórica y el atractivo estético de la proporción de oro a menudo se exageran, aunque es cierto que la proporción aparece a menudo en la teoría de números (en paralelo con la secuencia & Fibonacci), la geometría (como en un icosaedro) y la biología (como el ángulo entre las hojas de una planta).

Un método para determinar la proporción de oro se establece así:

Encuentre un rectángulo con una longitud y una anchura tal que cuando se corta un cuadrado en un extremo del rectángulo, el rectángulo de desecho restante tendrá la misma forma o "relación de aspecto" que el rectángulo original (pero se girará en un ángulo recto).

Mientras que los antiguos griegos resolvieron este problema utilizando la geometría, usaremos el álgebra como se enseña hoy.

Usando el álgebra para determinar el valor de la proporción de oro.

Usando el álgebra para determinar el valor de la proporción de oro.

Crédito: Robert Coolman

Para determinar qué longitud y anchura producirá la proporción de oro, le damos al lado corto una longitud de 1 y el lado largo una longitud de x. Debido a que la relación de aspecto se define como el lado largo dividido por el lado corto, la relación de aspecto para este rectángulo es x / 1, o simplemente x. Si cortamos un cuadrado de este rectángulo, el resto restante tiene una longitud de lado largo de 1 y una longitud de lado corto de x - 1. Por lo tanto, la relación de aspecto es 1 / (x - 1). Entendiendo que la relación de aspecto para el rectángulo general y el rectángulo de desecho más pequeño debe ser la misma, nuestra ecuación es x = 1 / (x - 1).

La formula cuadrática

Así es como se instruye a los estudiantes para resolver esta ecuación hoy. Comience con la ecuación:

x = 1 / (x - 1)

Multiplica cada lado de la ecuación por la expresión x - 1:

x · (x - 1) = 1

Distribuye la x a través de la expresión x - 1:

x · x - x · 1 = 1

La variable x multiplicada por sí misma se escribe como x². Esta cuadratura es lo que hace que la ecuación sea una cuadrática:

x² - x = 1

Ahora, restamos 1 de cada lado de la ecuación para lograr lo que se conoce como la forma estándar de una ecuación cuadrática:

x² - x - 1 = 0

De manera equivalente, esto puede escribirse como:

(1) · x² + (-1) · x + (-1) = 0

Cuando esto se compara con la ecuación a · x² + b · x + c = 0, da valores de a = 1, b = -1 y c = -1. Estos valores se utilizan en la fórmula cuadrática como

La forma simbólica moderna de la ecuación cuadrática.

La forma simbólica moderna de la ecuación cuadrática.

Crédito: Robert Coolman

El símbolo "±" significa "más o menos". Debido a esto, la fórmula cuadrática siempre da dos soluciones. Sustituya cualquiera de estos valores en la ecuación x = 1 / (x - 1) para probar si esto hace que ambos lados de la ecuación salgan iguales. Lo hace, es decir, el método trabajado. Observe que estos valores también son los lugares en los que la gráfica de la forma estándar de la ecuación (y = x² - x - 1) cruza el eje X, que es donde y = 0 (consulte la gráfica anterior). En este caso, el valor positivo es de mayor importancia física, porque un rectángulo no debería tener un ancho negativo.

Antiguos orígenes babilonios

Para ofrecer una idea de de dónde proviene la fórmula cuadrática y por qué funciona, examinemos un procedimiento utilizado en una antigua tableta de arcilla babilónica de alrededor de 1800 a. C. (Tableta BM 13901, Museo Británico). Según Jacques Sesiano en "Una introducción a la historia de álgebra" (AMS, 2009), el primer problema en esta tableta se traduce aproximadamente en:

Agregué el área y el lado de un cuadrado para obtener. ¿Cuál es el lado de la plaza?

El problema está escrito en notación moderna como:

x² + x = ¾

El siguiente es un recuento de los métodos babilónicos y árabes como lo describe Sesiano. Primero, traduciremos los pasos que usaron los babilonios, pero también los traduciremos al lenguaje simbólico que usamos hoy en álgebra. El lenguaje completamente simbólico apareció por primera vez en Europa en el siglo XVII. Debido a que los babilonios no sabían sobre números negativos, es necesario escribir la ecuación en la forma x2 + px = q, donde p = 1 y q = ¾. Al comparar esto con la forma moderna de hacha.2& + bx + c = 0, muestra que p = b / a y q = -c / a.

Un antiguo procedimiento babilónico para resolver un tipo particular de cuadrática. La traducción a la notación simbólica moderna aparece a la derecha.

Un antiguo procedimiento babilónico para resolver un tipo particular de cuadrática. La traducción a la notación simbólica moderna aparece a la derecha.

Crédito: Robert Coolman

Ahora derivemos y probemos que el procedimiento es correcto usando métodos geométricos como lo hicieron los matemáticos árabes en el siglo IX dC La siguiente es una variación de una prueba que apareció en la publicación del matemático persa Al-Khwārizmī de "El libro compendio sobre el cálculo por compleción y equilibrio" "en el año 820 d. C. Aunque los babilonios casi con certeza derivaron sus métodos de procedimiento de la geometría, no aparecieron registros escritos de derivaciones ni pruebas de corrección hasta la Edad de Oro del Islam, un período que va desde mediados del siglo VII hasta mediados del siglo XIII, cuando Los musulmanes gobernaron un imperio que se extendía desde Asia Central hasta el norte de África e Iberia.

Demostración geométrica de por qué funciona el antiguo procedimiento babilónico. Una variación de esta prueba se registró por primera vez en el siglo IX d. C. Arabia y el lenguaje completamente simbólico apareció por primera vez en el siglo XVII A.D. Europa.

Demostración geométrica de por qué funciona el antiguo procedimiento babilónico. Una variación de esta prueba se registró por primera vez en el siglo IX d. C. Arabia y el lenguaje completamente simbólico apareció por primera vez en el siglo XVII A.D. Europa.

Crédito: Robert Coolman

Si "enchufamos" p = b / a y q = -c / a, la fórmula de hecho simplifica la forma moderna de la ecuación cuadrática como se enseña hoy.

Varias formas de la fórmula cuadrática se utilizaron a través de Afro-Eurasia durante las edades. Las versiones procesales fueron utilizadas por los babilonios y los egipcios alrededor del siglo XIX aC, los caldeos en el siglo séptimo aC, los griegos en el siglo IV a. y los indios en el siglo quinto d. C.Las formas retóricas y sincopadas fueron desarrolladas por los árabes en el siglo IX a. C., y las formas sincopadas y simbólicas por los europeos en el siglo XI a. C. Los métodos utilizados por cada civilización progresaron a medida que se aprendía más sobre números negativos, irracionales, imaginarios y complejos.

Recursos adicionales

  • La Universidad de Drexel tiene una página web entretenida que ilustra la historia de los gráficos.
  • Purplemath.com, un sitio de lecciones de matemáticas, explica cónicas y parábolas.
  • MathWorld, un recurso de matemáticas en línea, discute ecuaciones cuadráticas.


Suplemento De Vídeo: Ecuaciones cuadráticas por fórmula general.




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