¿Qué Son Los Logaritmos?

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Un logaritmo determina cuántas veces se debe multiplicar un número determinado por sí mismo para alcanzar otro número.

Un logaritmo es una operación matemática que determina cuántas veces un número determinado, llamado base, se multiplica por sí mismo para alcanzar otro número. Debido a que los logaritmos relacionan las progresiones geométricas con las progresiones aritméticas, se encuentran ejemplos a lo largo de la naturaleza y el arte, como el espaciado de los trastes de la guitarra, la dureza mineral y la intensidad de los sonidos, estrellas, tormentas de viento, terremotos y ácidos. Los logaritmos incluso describen cómo los humanos piensan instintivamente sobre los números.

Los logaritmos fueron inventados en el siglo XVII como una herramienta de cálculo por el matemático escocés John Napier (1550 a 1617), quien acuñó el término de las palabras griegas para relación (logos) y el número (aritmos). Antes de la invención de las calculadoras mecánicas (y posteriores electrónicas), los logaritmos eran extremadamente importantes para simplificar los cálculos encontrados en astronomía, navegación, topografía y ingeniería posterior.

Un ejemplo: doblar papel

Los logaritmos caracterizan la cantidad de veces que necesitas doblar una hoja de papel para obtener 64 capas. Cada vez que doblas el papel por la mitad, la cantidad de capas se duplica. Hablando matemáticamente, 2 (la base) multiplicada por sí misma un cierto número de veces es 64. ¿Cuántas multiplicaciones son necesarias? Esta pregunta está escrita como:

Iniciar sesión2(64) = x

Un logaritmo se puede considerar como el inverso de un exponencial, por lo que la ecuación anterior tiene el mismo significado que:

2X = 64

Como 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64, 26 = 64. Esto significa que si doblamos un pedazo de papel por la mitad seis veces, tendrá 64 capas. En consecuencia, el logaritmo de base 2 de 64 es 6, por lo que se registra2(64) = 6.

Otro ejemplo: medir moléculas

Cuando toma 1 mililitro de un líquido, agregue 99 ml de agua, mezcle la solución y luego tome una muestra de 1 ml, 99 de cada 100 moléculas del líquido original son reemplazadas por moléculas de agua, lo que significa que solo 1/100 de Las moléculas del líquido original quedan. A veces esto se conoce como una "dilución de C" del número romano por cien. Entendiendo que 1 ml de alcohol puro tiene aproximadamente 1022 (uno seguido de 22 ceros) moléculas, cuántas diluciones de C tomará hasta que todas menos una molécula es reemplazado por el agua? Hablando matemáticamente, 1/100 (la base) multiplicada por sí misma un cierto número de veces es 1/1022, entonces cuantas multiplicaciones son necesarias? Esta pregunta está escrita como:

Iniciar sesión1/100(1/1022) = 11

Por lo tanto, después de las diluciones de 11 C, solo quedará una molécula del alcohol original. (Aparte, esto es menos de la mitad de las diluciones de 30 C comunes en la homeopatía, lo que demuestra por qué la práctica es incompatible con la química moderna).

Logaritmos en una calculadora científica.

La mayoría de las calculadoras científicas solo calculan logaritmos en base 10, escritos como log (x) para logaritmo común y base mi, escrito como ln (x) para logaritmo natural (la razón por la cual las letras l y n están al revés se pierde en la historia). El número mi, que equivale a aproximadamente 2.71828, es un número irracional (como pi) con una cadena de decimales no repetitiva que se extiende hasta el infinito. Como consecuencia natural del desarrollo de logaritmos y cálculos, se le conoce como Constante de Napier y Número de Euler, después de Leonhard Euler (1707 a 1783), un matemático suizo que avanzó en el tema un siglo más tarde.

Para hacer un logaritmo en una base distinta de 10 o mi, empleamos una propiedad intrínseca a los logaritmos. De nuestro primer ejemplo anterior, log2(64) se puede ingresar en una calculadora como "log (64) / log (2)" o "ln (64) / ln (2)"; cualquiera de las dos dará la respuesta deseada de 6. Asimismo, log1/100(1/1022) es igual a "log (1/1022) / log (1/100) "y" ln (1/1022) / ln (1/100) "para una respuesta de 11.

Escalas logarítmicas en la ciencia.

Debido a que los logaritmos relacionan los cambios multiplicativos con los cambios incrementales, las escalas logarítmicas aparecen en un sorprendente número de fenómenos científicos y cotidianos. Tome la intensidad del sonido, por ejemplo: para aumentar el volumen de un altavoz en 10 decibelios (dB), es necesario suministrarlo con 10 veces la potencia. Del mismo modo, +20 dB requiere 100 veces la potencia y +30 dB requiere 1,000 veces. Se dice que los decibeles "progresan aritméticamente" o "varían en una escala logarítmica" porque cambian proporcionalmente con el logaritmo de alguna otra medida; en este caso, la potencia de la onda de sonido, que "progresa geométricamente" o "varía en una escala lineal".

Escala lineal

Escala logarítmica

Intensidad de sonido

Potencia [× 10]

Decibelios (dB) [+10]

Nota nota

Frecuencia [× 2]

Nota [+12 medios pasos]

Brillo estrella

Potencia por unidad de área [× 100]

Magnitud [-5]

Intensidad del terremoto

Energía [× 1000]

Escala de Richter [+2]

Intensidad del viento

Velocidad del viento [× 1.5]

Escala de Beaufort [+1]

Dureza mineral

Dureza absoluta [× 3 (aprox.)]

Escala de Mohs [+1]

Acidez / Básico

Concentración de h+iones [× 10]

pH [-1]

La tabla muestra que los números que relacionan varios sistemas lineales y logarítmicos varían ampliamente. Esto se debe a que una escala logarítmica a menudo se inventa primero como una técnica de caracterización sin una comprensión profunda de los fenómenos medibles detrás de esa caracterización. Un buen ejemplo es el brillo de las estrellas, que fue presentado por Hipparchus, un siglo II a. C. Astrónomo griego. Se dijo que las estrellas más brillantes en el cielo nocturno eran de primera magnitud (m = 1), mientras que las más brillantes eran de sexta magnitud (m = 6).En el siglo XIX a. C., el astrónomo inglés Norman Robert Pogson descubrió que la magnitud es el logaritmo de la cantidad de luz estelar que llega a un detector.

La mayoría de las otras escalas logarítmicas tienen una historia similar. Que las escalas logarítmicas a menudo vienen primero, sugiere que son, en cierto sentido, intuitivas. Esto no solo tiene que ver con nuestra percepción, sino también cómo pensamos instintivamente sobre los números.

Lineal se enseña; La logarítmica es instintiva.

Aunque las escalas logarítmicas son problemáticas para muchos (si no la mayoría) de los estudiantes de matemáticas, extrañamente tienen mucho que ver con la forma en que todos pensamos instintivamente sobre los números cuando éramos bebés. Stanislas Dehaene, profesor en el Collège de France y experto en cognición numérica, registró la actividad cerebral en bebés de dos a tres meses para ver cómo perciben los cambios en una pantalla de computadora. Un cambio de ocho patos a 16 patos causó actividad en el lóbulo parietal, lo que demuestra que los recién nacidos tienen una intuición de números. La respuesta de un bebé es más pequeña cuanto más cerca están los números, pero lo que es interesante es cómo un bebé percibe la "cercanía". Por ejemplo, ocho y nueve se perciben mucho más cerca uno del otro que uno y dos. Según Dehaene, "parece que les importa el logaritmo del número". Básicamente, los bebés no piensan en las diferencias, piensan en las proporciones.

La investigación con personas nativas del Amazonas, que "no tienen palabras de números más allá de cinco, y no recitan estos números", muestra que las personas, si se las deja a su instinto, continuarán pensando de esta manera. Si a alguien se le muestra un objeto a la izquierda y nueve a la derecha y se le pregunta: "¿Qué hay en el medio?", Usted y yo elegiríamos cinco objetos, pero el Amazonas promedio elegirá tres. Cuando se piensa en términos de proporciones y escalas logarítmicas (en lugar de diferencias y escalas lineales), una vez tres es tres y tres tres es nueve, entonces tres está en el medio de uno y nueve.

Motivación histórica para el desarrollo de logaritmos.

El trabajo de 1614 de John Napier, "Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio" (Descripción del maravilloso Canon de los logaritmos), contenía 90 páginas de tablas numéricas relacionadas con los logaritmos. Estos fueron de particular utilidad para simplificar los cálculos. En el siguiente ejemplo, un método que usa logaritmos aprovecha el hecho de que es más fácil de agregar que de multiplicar. El siguiente ejemplo no es realmente simple, pero demuestra el proceso de uso de tablas logarítmicas.

37 × 59

A partir de una versión de las tablas de Napier, cada uno de estos números podría escribirse de la siguiente manera:

101.5682 × 101.7709

Los exponentes tienen una propiedad útil que permite el siguiente paso:

101.5682 + 1.7709

Que deja

103.3391

A partir de otra tabla, se determina la respuesta final:

2,183

Reglas de cálculo

Esta propiedad de hacer que la multiplicación sea análoga a la adición permite otra técnica de cálculo anticuada: la regla de cálculo. Se pueden usar dos reglas normales (lineales) para agregar números como se muestra:

Se pueden usar reglas lineales para hacer sumas. Aquí se muestra que 2 + 3 = 5.

Se pueden usar reglas lineales para hacer sumas. Aquí se muestra que 2 + 3 = 5.

Crédito: Robert J. Coolman

De manera similar al procedimiento que se muestra arriba, se pueden usar dos reglas para multiplicar cuando se imprimen con escalas logarítmicas.

Las reglas logarítmicas se pueden usar para hacer la multiplicación. Aquí se muestra que 2 × 8 = 16.

Las reglas logarítmicas se pueden usar para hacer la multiplicación. Aquí se muestra que 2 × 8 = 16.

Crédito: Robert J. Coolman

Estas marcas también coinciden con el espaciado de los trastes en el diapasón de una guitarra o ukelele. Las notas musicales varían en una escala logarítmica debido a que el oído humano percibe cada vez más octavas (extremos de una escala musical) como espaciadas uniformemente, aunque se producen al cortar repetidamente la cuerda por la mitad (multiplicando por 1/2). Entre el cuello y el punto medio de una cuerda de guitarra, habrá 12 trastes logarítmicamente espaciados.

Recursos adicionales

  • Naturaleza: ¿Por qué deberíamos amar los logaritmos?
  • Radio Lab: Números innatos
  • Número de archivo: tablas de registro (YouTube)
  • Math Is Fun: Introducción a los logaritmos
  • Khan Academy: Tutorial de logaritmo


Suplemento De Vídeo: Logaritmos explicación desde el principio.




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