Propiedades Del Triángulo De Pascal

{h1}

El triángulo de pascal, una construcción matemática simple pero compleja, oculta algunas propiedades sorprendentes relacionadas con la teoría de los números y la probabilidad.

El triángulo de Pascal es un triángulo equilátero interminable de números que siguen una regla de sumar los dos números de arriba para obtener el número de abajo. Dos de los lados son "todos los 1" y debido a que el triángulo es infinito, no hay "lado inferior".

Lleva el nombre de Blaise Pascal, un matemático francés del siglo XVII que utilizó el triángulo en sus estudios de teoría de la probabilidad. Sin embargo, se ha estudiado en todo el mundo durante miles de años, especialmente en la antigua India y la China medieval, y durante la Edad de Oro del Islam y el Renacimiento, que comenzó en Italia antes de extenderse por toda Europa.

Por simple que sea este patrón, tiene conexiones sorprendentes en muchas áreas de las matemáticas, incluyendo álgebra, teoría de números, probabilidad, combinatoria (las matemáticas de configuraciones contables) y fractales. Michael Rose, un matemático que estudia en la Universidad de Newcastle, describió muchos de los patrones ocultos en el triángulo de Pascal en una columna de "Expertos en Voces" de 2013 para WordsSideKick.com. En este artículo, profundizaremos específicamente en las propiedades que se encuentran en las matemáticas superiores.

Combinaciones

El triángulo de Pascal surge naturalmente a través del estudio de la combinatoria. Por ejemplo, imagine que selecciona tres colores de un paquete de marcadores de cinco colores. El orden en que se seleccionan los colores no importa para elegir cuál usar en un póster, pero sí para elegir un color para Alice, Bob y Carol. El número de configuraciones posibles se representa y calcula de la siguiente manera:

  • Un color para Alice, Bob y Carol: un caso como este donde el orden hace la materia se llama un permutación. Para un caso con cinco opciones donde tres serán elegidas y ordenadas, este número de posibles permutaciones se expresa como 5PAG3 y se calcula como 5! / (5-3) !. El operador "!" se llama factorial, lo que significa que multiplica todos los números enteros menores a través de uno (por ejemplo, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1) La expresión para 5PAG3 simplifica a 5! / 2! = 5 × 4 × 3 = 60
  • Tres colores para un solo póster: un estuche como este donde orden no la materia se llama un combinación. El número de combinaciones posibles siempre será una fracción del número de permutaciones posibles. Para un caso con cinco opciones donde se elegirán tres, esto se expresa como 5do3 y se calcula como 5! / [3! (5-3)!] = 5! / (3! × 2!) = 5 × 4 × 3 / (3 × 2 × 1) = 10

Este segundo caso es significativo para el triángulo de Pascal, porque los valores se pueden calcular de la siguiente manera:

Los números del triángulo de Pascal coinciden con el número de combinaciones posibles (nCr) cuando se enfrentan a tener que elegir el número r de objetos entre el número n de opciones disponibles.

Los números del triángulo de Pascal coinciden con el número de combinaciones posibles (nCr) cuando se enfrentan a tener que elegir el número r de objetos entre el número n de opciones disponibles.

Crédito: Robert J. Coolman

Desde el proceso de generar el triángulo de Pascal, vemos que se puede generar cualquier número sumando los dos números de arriba. Matemáticamente, esto se expresa como nortedor = n-1dor-1 + n-1dor - esta relación ha sido señalada por varios estudiosos de las matemáticas a lo largo de la historia.

El teorema del binomio

Binomial es una palabra que se usa en álgebra que significa "dos cosas juntas". los teorema binomial se refiere al patrón de coeficientes (números que aparecen delante de las variables) que aparecen cuando un binomio se multiplica por sí mismo un cierto número de veces. Matemáticamente, esto se escribe como (x + y)norte. El triángulo de Pascal se puede usar para determinar el patrón expandido de coeficientes. Los primeros polinomios expandidos se dan a continuación.

norte(x + y)nortePolinomio ExpandidoTriángulo de Pascal
0(x + y)011
1(x + y)11x + 1y1,1
2(x + y)21x2 + 2xy + 1y21,2,1
3(x + y)31x3 + 3x2y + 3xy2 + 1y31,3,3,1
4(x + y)41x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + 1y41,4,6,4,1
5(x + y)51x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + 1y51,5,10,10,5,1

Usando la notación de suma, el teorema del binomio se puede escribir de manera sucinta como:

El teorema del binomio escrito en notación sumativa.

El teorema del binomio escrito en notación sumativa.

Crédito: Robert J. Coolman

La distribución binomial

Para un proceso probabilístico con dos resultados (como el lanzamiento de una moneda), la secuencia de resultados se rige por lo que los matemáticos y estadísticos denominan Distribución binomial. Esto también se relaciona con el triángulo de Pascal.

Por ejemplo, para tres tiradas de monedas, hay 2 × 2 × 2 = 8 posibles secuencias de heads / tails. Cuando se clasifican en grupos de "cuántas cabezas (3, 2, 1 o 0)", cada grupo se rellena con 1, 3, 3 y 1 secuencias, respectivamente. Observe cómo esto coincide con la tercera fila del Triángulo de Pascal. Se ha comprobado que esta tendencia se mantiene para todos los números de tiradas de monedas y todas las filas del triángulo.

Tiradas de monedaPosibles secuencias de cabezas (H) o colas (T)Triángulo de Pascal
1H
T
1
1
2S.S
HT TH
TT
1
2
1
3HHH
HHT HTH THH
HTT THT TTH
TTT
1
3
3
1
4HHHHH
HHHT HHTH HTHH THHHHHHT
HHTT HTHT HTTH THHT THTH THTHT
HTTT THTT TTHT TTTH
TTTT
1
4
6
4
1

Según George E.P. Cuadro en "Statistics for Experimenters" (Wiley, 1978), para grandes cantidades de tiradas de monedas (por encima de aproximadamente 20), la distribución binomial es una aproximación razonable de la distribución normal, una distribución fundamental de "curva de campana" utilizada como base en análisis estadístico.Esta aproximación simplifica significativamente el análisis estadístico de una gran cantidad de fenómenos.

Un ejemplo físico de esta aproximación se puede ver en una máquina de frijoles, un dispositivo que clasifica aleatoriamente las bolas en los contenedores según cómo caen sobre una disposición triangular de clavijas. Debido a que una bola que golpea una clavija tiene la misma probabilidad de caer hacia la izquierda o hacia la derecha, la probabilidad de que una bola caiga completamente hacia la izquierda (o derecha) después de pasar un cierto número de filas de clavijas coincide exactamente con la probabilidad de obtener todas Cabezas (o colas) del mismo número de tiradas de monedas. Después de un número suficiente de bolas se han recogido más allá de un triángulo con norte filas de clavijas, las proporciones de números de bolas en cada bandeja tienen más probabilidades de coincidir con la norteth fila del triángulo de Pascal.

secuencia Fibonacci

El Triángulo de Pascal también tiene vínculos significativos con la teoría de los números. La conexión más aparente es a la secuencia de Fibonacci. Al sumar los números del triángulo de Pascal a lo largo de una cierta diagonal se obtienen los números de la secuencia.

Las sumas a lo largo de una cierta diagonal del triángulo de Pascal producen la secuencia de Fibonacci.

Las sumas a lo largo de una cierta diagonal del triángulo de Pascal producen la secuencia de Fibonacci.

Crédito: Robert J. Coolman

Fractales

Colorear los números del triángulo de Pascal por su divisibilidad produce una interesante variedad de fractales. En particular, al colorear todos los números divisibles por dos (todos los números pares) se obtiene el triángulo de Sierpiński. Estos patrones han aparecido en el arte italiano desde el siglo XIII, según Wolfram MathWorld.

Para el triángulo de Pascal, los números de colores divisibles por una cierta cantidad producen un fractal. Al igual que el triángulo de Pascal, estos patrones continúan hasta el infinito.

Para el triángulo de Pascal, los números de colores divisibles por una cierta cantidad producen un fractal. Al igual que el triángulo de Pascal, estos patrones continúan hasta el infinito.

Crédito: Robert J. Coolman

Recursos adicionales

Para más información sobre el triángulo de Pascal, vaya a:

  • La matematica es divertida
  • Wolfram MathWorld
  • Sociedad Americana de Matemáticas

Suplemento De Vídeo: Los secretos del TRIÁNGULO DE PASCAL.




ES.WordsSideKick.com
Reservados Todos Los Derechos!
La Reproducción De Cualquier Permitió Sólo Prostanovkoy Enlace Activo Al Sitio ES.WordsSideKick.com

© 2005–2019 ES.WordsSideKick.com