Cómo Funcionan Las Matemáticas

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Un mundo sin matemáticas es inimaginable. Aprende cómo las diferentes ramas de las matemáticas ayudan a desmitificar el mundo que nos rodea.

Es fácil pensar en las matemáticas como una especie de hechicería de cuentos: un poderoso lenguaje secreto que pocos conocen, dominado por agentes inhumanos (como su calculadora) y que sustenta la trama misma del universo. Incluso si evitamos tal hipérbole, el hecho es que muchos de nosotros somos matemáticamente analfabetos en un mundo que funciona con matemáticas.

¿Cuándo fue la última vez que truncaste seriamente algunos números solo con lápiz y papel? En su libro "La geometría del paraíso", Mark A. Peterson describió a la gente de la Europa medieval como una cultura no matemática en posesión de matemáticas sofisticadas. Los matemáticos de la época ciertamente perfeccionaron sus habilidades, pero sobre todo por amor a las abstracciones matemáticas. Examinaron pocas aplicaciones prácticas con él y, según Peterson, realmente no entendían qué era la matemática.

Hoy en día, el campo de las matemáticas es mucho más vibrante que en la Edad Media, pero todavía elude a un número alarmante de quienes dependen de él. Por un lado, las matemáticas ciertamente tienen una forma de resolverse a sí mismas en estos días a través de calculadoras y búsquedas rápidas de Google. Sin embargo, para muchos individuos, la ansiedad matemática comienza con una enseñanza inadecuada de no matemáticos que tienen problemas para transmitir entusiasmo y practicidad. Tenga en cuenta las clases superpobladas, y no es de extrañar que tantos estudiantes no se aferren al núcleo lógico de las matemáticas. De hecho, solo el 40 por ciento de los alumnos de cuarto grado y el 34 por ciento de los de octavo grado en los EE. UU. Son competentes en matemáticas, según Arne Duncan, secretaria de educación de EE. UU. Que habló en el Consejo Nacional de Maestros de Matemáticas en abril de 2011.

Las ramificaciones del analfabetismo matemático son muy reales. En 2005, las Academias Nacionales de los Estados Unidos identificaron el declive de la educación matemática en el país como un grave efecto perjudicial en su capacidad científica, tecnológica y económica [fuente: Mullich].

Así que vamos a desmitificar el mundo de las matemáticas. Un mundo sin matemáticas es inimaginable. Es una parte de quienes somos. Es el jugo analítico de nuestro cerebro izquierdo y, en palabras del físico Richard Feynman, incluso un tonto puede usarlo. Aquí hay una cita del libro del fallecido gran científico "El placer de descubrir cosas":


Lo que hemos podido resolver sobre la naturaleza puede parecer abstracto y amenazador para alguien que no lo ha estudiado, pero fueron los tontos quienes lo hicieron, y en la próxima generación, todos los tontos lo entenderán. Hay una tendencia a la pomposidad en todo esto, a hacerla profunda y profunda.

En este artículo, analizaremos el mundo de los números con un ángulo muy amplio. ¿Qué son exactamente y qué hacen realmente las matemáticas?

¿Qué son los números?

Un árbitro de boxeo administra el conteo.

Un árbitro de boxeo administra el conteo.

Las matemáticas se reducen al reconocimiento de patrones. Identificamos patrones en el mundo que nos rodea y los usamos para navegar por sus desafíos. Para hacer todo esto, sin embargo, necesitamos números, o al menos la información que representan nuestros números.

¿Qué son los números? Como exploraremos más adelante, esa es una pregunta engañosamente profunda, pero ya sabes la respuesta simple. Un número es una palabra y un símbolo que representa una cuenta. Digamos que caminas fuera de tu casa y ves dos perros enojados. Incluso si no conociera la palabra "dos" o si supiera cómo se ve el número correspondiente, su cerebro comprenderá bien cómo se compara un encuentro de dos perros con una situación de tres, uno o cero perros.

Le debemos esa comprensión innata a nuestro cerebro (específicamente, el lóbulo parietal inferior), que naturalmente extrae los números del entorno circundante de la misma manera que identifica los colores [fuente: Dehaene]. Llamamos a esto sentido de los números, y nuestros cerebros vienen totalmente equipados con él desde el nacimiento. Los estudios muestran que, si bien los bebés no comprenden los sistemas numéricos humanos, aún pueden identificar cambios en la cantidad.

La investigación en neuroimagen incluso ha descubierto que los bebés poseen la capacidad de participar en conteo logarítmico, o conteo basado en incrementos integrales en la cantidad física. Mientras que un bebé no verá la diferencia entre cinco ositos de peluche y seis ositos de peluche en una alineación, notará una diferencia entre cinco y 10 [fuente: Miller].

El sentido numérico juega un papel vital en la forma en que los animales navegan en sus entornos, entornos donde los objetos son numerosos y con frecuencia móviles. Sin embargo, el sentido numérico de un animal se vuelve más impreciso con números cada vez más grandes. Los humanos, por ejemplo, son sistemáticamente más lentos para calcular 4 + 5 que 2 + 3 [fuente: Dehaene].

En algún momento de nuestro pasado antiguo, los humanos prehistóricos comenzaron a desarrollar un medio para aumentar su sentido numérico. Comenzaron a contar con sus dedos de manos y pies. Es por esto que tantos sistemas numéricos dependen de grupos de cinco, 10 o 20. Base-10 o sistemas decimales provienen del uso de ambas manos, mientras que la base 20 o sistemas vigesimales Se basan en el uso de dedos de manos y pies.

Los humanos antiguos aprendieron a externalizar su sentido numérico y, al hacerlo, posiblemente crearon el logro científico más importante de la humanidad: las matemáticas.

La Torre de las Matemáticas: Números

Los números representan una dificultad para los humanos. Claro, algunos de nosotros tenemos más don para las matemáticas que otros, pero cada uno de nosotros alcanza un punto en nuestra educación matemática donde las cosas se ponen difíciles. Aprender las tablas de multiplicar es difícil porque el cerebro humano nunca evolucionó para manejar cálculos tan avanzados como 17 x 32 = 544.Después de un cierto punto, nuestra educación matemática es en gran medida un ejercicio para reajustar circuitos cerebrales mal adaptados [fuente: Dehaene].

El sentido numérico puede venir naturalmente a nosotros, pero la alfabetización matemática viene solo con el tiempo. Del mismo modo, el uso de las matemáticas por parte de la humanidad ha crecido de manera constante a lo largo de los siglos. Al igual que la ciencia en sí misma, las matemáticas no son el producto de una sola mente sino una acumulación constante de conocimiento a lo largo de la historia humana.

Piense en las matemáticas como una torre. La altura humana natural es finita, por lo tanto, si vamos a llegar más alto en el aire y ver más allá del paisaje, tendremos que construir algo externo a nosotros mismos. Nuestras habilidades mentales para comprender las matemáticas son igualmente finitas, por lo que construimos una gran torre de sistemas numéricos y subimos hacia las estrellas.

Para desglosar la estructura básica de esta torre, primero veamos las materias primas. Estos son los tipos básicos de números:

Enteros: Probablemente los conozca como números enteros, y se presentan en forma positiva y negativa. Los enteros incluyen los números de conteo básicos (1-9), números negativos (-1) y cero.

Numeros racionales incluye números enteros, pero también abarca fracciones simples que pueden expresarse como una proporción de dos números enteros. Por ejemplo, 0.5 es racional porque también podemos escribirlo como 1/2.

Numeros irracionales: Estos números no se pueden escribir como una proporción de dos enteros. Pi (la relación de la circunferencia de un círculo a su diámetro) es un ejemplo clásico, ya que no se puede escribir con precisión como una relación de dos enteros y se ha calculado para descender de los puntos decimales a los trillones.

Los números racionales e irracionales caen dentro de la categoría de numeros reales o números complejos. Y sí, también hay números imaginarios que existen fuera de la recta numérica real, y números trascendentales, como pi. También hay muchos otros tipos de números diferentes, y ellos también juegan un papel en la estructura de nuestra torre.

En la página siguiente, veremos algunas de las ramas principales de las matemáticas.

La torre de las matemáticas: ramas de las matemáticas

Alrededor del año 100 a. C., el astrónomo griego Hipparchus, inventor de la trigonometría, estudia los cielos.

Alrededor del año 100 a. C., el astrónomo griego Hipparchus, inventor de la trigonometría, estudia los cielos.

¿A quién contratarías para construir una torre? Después de todo, varios sistemas diferentes convergen en la construcción moderna: armazón de acero, cimientos de piedra, carpintería, plomería, techos, cableado eléctrico, calefacción de telecomunicaciones y aire acondicionado. Del mismo modo, muchas ramas de las matemáticas desempeñan un papel en la torre de las matemáticas. Aquí hay sólo unos pocos.

Aritmética: Esta es la forma más antigua y básica de las matemáticas. La aritmética se refiere principalmente a la suma, resta, multiplicación y división de números reales que no son negativos.

Álgebra: El siguiente nivel de matemáticas, el álgebra, es esencialmente aritmética con cantidades desconocidas o abstractas con los números reales. Representamos los resúmenes con símbolos, como X e Y.

Geometría: ¿Recuerdas lo que dijimos sobre las matemáticas ayudándonos a navegar por un mundo de objetos numerosos y móviles? Aquí es donde entra en juego la geometría, que trata principalmente de las medidas y propiedades de puntos, líneas, ángulos, superficies y sólidos.

Trigonometría: La trigonometría se refiere a las medidas de los triángulos y las relaciones entre sus lados y ángulos. Mientras que los orígenes históricos de la aritmética, el álgebra y la geometría se pierden en la niebla de la historia antigua, la trigonometría se origina con el astrónomo del siglo II Hiparco de Nicea.

Cálculo: Independientemente desarrollado por Isaac Newton y Gottfried Leibniz en el siglo XVII, el cálculo se ocupa del cálculo de las tasas de cambio instantáneas (conocidas como calculo diferencial) y la suma de infinitos pequeños factores para determinar un todo (conocido como cálculo integral). Como tal, ha demostrado ser una herramienta científica vital en varias disciplinas.

La torre de las matemáticas ha permitido que la cultura humana crezca y florezca, para comprender tanto los misterios internos de las células como los misterios externos del espacio.

¿Pero realmente construimos esta torre a partir de nuestro propio ingenio? ¿Inventamos las matemáticas o simplemente las descubrimos? Explora esta pregunta tentadora en la página siguiente.

Matemáticas: ¿Descubrimiento humano o invención humana?

¿Se ajusta el universo a las matemáticas, o matemáticas al universo?

¿Se ajusta el universo a las matemáticas, o matemáticas al universo?

Entonces, ¿qué es, en esencia, esta cosa llamada matemática? Al desarrollar estos números y sistemas de números, ¿descubrimos la codificación oculta del universo? ¿Son las matemáticas, en palabras de Galileo, el lenguaje de Dios? ¿O es la matemática solo un sistema creado por el hombre que se corresponde con las leyes y estructuras naturales? No hay una respuesta definitiva a esta pregunta, pero los matemáticos tienden a ponerse del lado de una de varias teorías convincentes.

Primero, está el Teoria platonica. El filósofo griego Platón argumentó que las matemáticas son un sistema que puede descubrirse y que subraya la estructura del universo. En otras palabras, el universo está hecho de matemáticas y cuanto más comprendemos esta vasta interacción de números, más podremos entender la naturaleza misma. Para decirlo de manera más clara, las matemáticas existen independientemente de los humanos, que estuvo aquí antes de que evolucionáramos y continuará mucho después de nuestra extinción.

El argumento opuesto, por lo tanto, es que las matemáticas son una herramienta hecha por el hombre, una abstracción libre de tiempo y espacio que simplemente se corresponde con el universo. Basta con considerar las órbitas planetarias elípticas. Si bien tal trayectoria elíptica proporciona a los astrónomos una aproximación cercana al movimiento del planeta, no es perfecta [fuente: Dehaene].

Varias teorías amplían esta idea.

  • los teoría logísticaPor ejemplo, sostiene que las matemáticas son una extensión del razonamiento y la lógica humana.
  • los teoría intuicionista define las matemáticas como un sistema de construcciones puramente mentales que son internamente consistentes.
  • los teoría formalista argumenta que las matemáticas se reducen a la manipulación de símbolos hechos por el hombre. En otras palabras, estas teorías proponen que las matemáticas son un tipo de analogía que traza una línea entre los conceptos y los eventos reales.
  • los teoría ficcionalistaAunque es menos popular, llega incluso a equiparar las matemáticas con los cuentos de hadas: ficciones científicamente útiles. En otras palabras, 1 + 1 = 2 podría permitirnos entender cómo funciona el universo, pero no es una declaración "verdadera".

Quien tiene razon Quien esta equivocado En última instancia, no hay forma de saberlo, pero en la página siguiente veremos dos ejemplos de lo que cada posibilidad podría significar para nuestra comprensión del universo.

El universo matematico

¿Pueden las matemáticas explicarlo todo?

¿Pueden las matemáticas explicarlo todo?

La historia de las matemáticas es una historia de la humanidad que busca entender el universo. Por lo tanto, muchos consideran que el santo grial de las matemáticas es el mismo que el de la física: un teoría de todo, una teoría unificada que explica toda la realidad física.

En general, las matemáticas desempeñan un papel vital en cualquier teoría de todo, pero el cosmólogo contemporáneo Max Tegmark incluso llega a teorizar que el universo en sí está hecho de matemáticas. En su hipótesis del universo matemático, propone que las matemáticas son un descubrimiento humano y que el universo es esencialmente un objeto matemático gigantesco. En otras palabras, las matemáticas no describen más el universo que los átomos describen los objetos que componen; más bien las matemáticas son el universo. Tegmark incluso va tan lejos como para predecir que una prueba matemática para una teoría de todo podría eventualmente encajar en una camiseta.

Sin embargo, más de 60 años antes, el matemático austriaco Kurt Gödel propuso una teoría que sostiene todo lo contrario. El primer teorema de incompletitud de Gödel. se refiere a los axiomas, a las afirmaciones matemáticas lógicas que asumimos como verdaderas pero que no se pueden probar con una prueba matemática. Un ejemplo simple de esto sería el axioma de igualdad (X = X). Suponemos que esto es una afirmación verdadera, pero no podemos respaldarlo con una prueba matemática. El teorema de Gödel establece que cualquier teoría axiomatizable adecuada es incompleta o inconsistente.

La implicación, según el físico teórico y matemático Freeman Dyson, es que las matemáticas son inagotables. No importa cuántos problemas resolvamos, inevitablemente encontraremos más problemas sin solución dentro de las reglas existentes [fuente: Feferman]. Esto también parece descartar el potencial de una teoría de todo, pero todavía no relega al mundo de los números a la invención humana o al descubrimiento humano.

En cualquier caso, las matemáticas podrían ser el mayor invento de la humanidad. Compone una parte vital de nuestra arquitectura neuronal y continúa fortaleciéndonos más allá de los límites mentales con los que nacimos, incluso mientras luchamos por comprender sus límites.

Explore los enlaces en la página siguiente para aprender aún más sobre las matemáticas.


Suplemento De Vídeo: ¿Son reales las matemáticas?.




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